Логические элементы и схемы

Содержание и основные понятия

← Вернуться к оглавлению
Alterna · глава 16 · страница 16.1
Логические элементы и схемы
AND, OR, NOT, NAND, NOR, XOR. SVG-схемы + конструктор + дешифратор/мультиплексор.
Логический вентиль — это физическая реализация логической операции (транзисторная схема). Миллиарды вентилей образуют процессор. Каждый компьютер — это гигантская композиция AND, OR, NOT.
ФГОС
ФОП
ОГЭ №3
01
Основные вентили (SVG)
AND (∧)
A
B
A∧B
OR (∨)
A
B
A∨B
NOT (¬)
A
¬A
NAND
¬(A∧B)
AND + NOT. Универсальный элемент: через NAND можно выразить все остальные.
NOR
¬(A∨B)
XOR (⊕)
A⊕B
02
Симулятор схемы
Кликни по входам — увидишь выход
🔌
Схема: (A∧B)∨(¬A∧¬B) — это XNOR (эквивалентность)
A=0
B=0
∧
A∧B
∧
¬A∧¬B
∨
0
F = (A∧B)∨(¬A∧¬B) = A↔B (XNOR). Эта схема выдаёт 1, когда A и B равны.
03
Логические уравнения
Найти набор переменных, при котором формула истинна
Что такое логическое уравнение?
Логическое уравнение
— это логическая формула, в которой нужно найти набор значений переменных, делающих формулу истинной (F = 1). Решение — это все строки таблицы истинности, где результат равен 1.
Пример: решить уравнение A ∧ B = 1
Конъюнкция равна 1 только когда оба операнда равны 1. Решение:
A=1, B=1
.
Пример: решить уравнение A ⊕ B = 1
XOR даёт 1 при разных значениях. Решения:
(A=0,B=1)
и
(A=1,B=0)
.
Для ЕГЭ №15
Логические уравнения — типовая задача ЕГЭ №15. Алгоритм: строим таблицу истинности, находим все строки с F=1. Каждая строка — одно решение.
🧮
Решатель логических уравнений
Введи уравнение (формула = 1) — получи все решения
Уравнение F = 1
04
Почему NAND универсален
Через NAND можно построить любую логическую операцию
Универсальность NAND (штрих Шеффера)
NAND
— единственный вентиль, из которого можно собрать все остальные:
NOT
: ¬A = A NAND A
AND
: A∧B = (A NAND B) NAND (A NAND B)
OR
: A∨B = (A NAND A) NAND (B NAND B)
🔬
Доказательство: NAND → NOT, AND, OR
NOT через NAND
A NAND A
0 NAND 0 = 1
1 NAND 1 = 0
= ¬A ✓
AND через NAND
(A NAND B) NAND (A NAND B)
= ¬(A NAND B) NAND ¬(A NAND B)
= A∧B ✓
OR через NAND
(A NAND A) NAND (B NAND B)
= ¬A NAND ¬B
= A∨B ✓
Факт
Все процессоры строятся из NAND (или NOR) — потому что это дешевле и проще в производстве, чем отдельные AND/OR/NOT.
05
Конструктор логических схем
Перетаскивай элементы на холст — собирай схему — получай таблицу истинности
Как собирать схему
1.
Выбери элемент
в палитре слева и нажми на него — он появится на холсте.
2.
Перемещай
элементы перетаскиванием (drag) по холсту.
3.
Соединяй элементы:
кликни на
выход
(правый кружок) элемента, затем кликни на
вход
(левый кружок) другого — появится провод.
4. Нажми
«Вычислить»
— получишь таблицу истинности для всей схемы.
🔧
Drag-and-drop конструктор схем
Нажми элемент в палитре, перетащи на холст, соедини выход→вход
📦 Палитра элементов:
06
Дешифратор и мультиплексор
Ключевые комбинирующие схемы для ОГЭ/ЕГЭ
Дешифратор (Decoder)
Дешифратор
— схема с n входами и 2
n
выходами. Активируется только тот выход, номер которого соответствует двоичному коду на входах.
Для 2 входов (A, B) — 4 выхода (Y0–Y3):
A
B
Y0
Y1
Y2
Y3
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
Формулы
Y0 = ¬A∧¬B   Y1 = ¬A∧B   Y2 = A∧¬B   Y3 = A∧B
📡
Дешифратор 2→4: интерактив
A=0
B=0
2→4
Decoder
Y0=0
Y1=0
Y2=0
Y3=0
Y0
Y1
Y2
Y3
Мультиплексор (MUX)
Мультиплексор
— «переключатель данных». Выбирает один из 2
n
входов и передаёт его на единственный выход. n управляющих входов + 2
n
входов данных = 1 выход.
Для 4-канального MUX (2 управляющих: S0, S1):
S1
S0
Y
0
0
D0
0
1
D1
1
0
D2
1
1
D3
Формула
Y = (¬S1∧¬S0∧D0) ∨ (¬S1∧S0∧D1) ∨ (S1∧¬S0∧D2) ∨ (S1∧S0∧D3)
🔀
Мультиплексор 4→1: интерактив
Данные:
D0=1
D1=0
D2=1
D3=0
00
01
10
11
MUX 4:1
4→1
S0=0
S1=0
Управление
1
Выбран канал D0