Высказывания и логические операции

Содержание и основные понятия

← Вернуться к оглавлению
Alterna · глава 15 · страница 15.1
Высказывания и логические операции
6 базовых операций, приоритет, де Морган, аксиомы, интерактивный калькулятор.
Высказывание
— повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. «Москва — столица России» — истинно. «Который час?» — не высказывание. Вся математическая логика строится на этой простой идее.
ФГОС
ФОП
ОГЭ №3
ЕГЭ №2,15
01
Высказывание и его виды
Определение
Высказывание
— повествовательное предложение, относительно которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.
Логика работает только с такими предложениями. Вопросы, восклицания, приказы высказываниями
не являются
.
Примеры
Предложение
Высказывание?
Истинность
Москва — столица России
✓ Да
Истина (1)
2+2=5
✓ Да
Ложь (0)
Который час?
✗ Нет
—
Снег белый
✓ Да
Истина (1)
Закрой дверь!
✗ Нет
—
Важно
В логике мы часто обозначаем высказывания большими латинскими буквами:
A
,
B
,
C
,
X
,
Y
. Значение 1 = истина, 0 = ложь.
02
6 базовых операций
Из простых высказываний можно строить сложные
¬ Инверсия (НЕ / NOT)
Меняет значение на противоположное.
¬A
читается «не A».
📐 Математика:
¬A
или
Ā
📊 Excel:
=НЕ(A1)
💻 LibreOffice:
=НЕ(A1)
🖥 JS:
!A
A
¬A
0
1
1
0
∧ Конъюнкция (И / AND)
A∧B
истинно только когда оба истинны. Читается «A и B».
📐 Математика:
A∧B
📊 Excel:
=И(A1;B1)
💻 LibreOffice:
=И(A1;B1)
🖥 JS:
A && B
A
B
A∧B
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Аналогия:
∧
— как умножение (0·0=0, 0·1=0, 1·0=0, 1·1=1).
∨ Дизъюнкция (ИЛИ / OR)
A∨B
ложно только когда оба ложны. Читается «A или B».
📐 Математика:
A∨B
📊 Excel:
=ИЛИ(A1;B1)
💻 LibreOffice:
=ИЛИ(A1;B1)
🖥 JS:
A || B
A
B
A∨B
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Внимание:
∨
— «включающее ИЛИ» (как в математике), а не «исключающее»!
→ Импликация (СЛЕДОВАНИЕ / IMPLIES)
A→B
ложно только в одном случае: A=1, B=0. Читается «если A, то B».
📐 Математика:
A→B
или
A⊃B
📊 Excel:
=ЕСЛИ(A1=1;ЕСЛИ(B1=0;0;1);1)
💻 LibreOffice:
=ЕСЛИ(A1;B1;ИСТИНА)
🖥 JS:
!A || B
A
B
A→B
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Смысл: «A достаточно для B». Эквивалентна:
¬A∨B
.
↔ Эквивалентность (EQ / XNOR)
A↔B
истинно, когда A и B одинаковы. Читается «A тогда и только тогда, когда B».
📐 Математика:
A↔B
или
A≡B
📊 Excel:
=ЕСЛИ(A1=B1;1;0)
💻 LibreOffice:
=ЕСЛИ(A1=B1;1;0)
🖥 JS:
A === B
A
B
A↔B
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
⊕ Исключающее ИЛИ (XOR)
A⊕B
истинно когда A и B
различны
. Читается «A или B, но не оба».
📐 Математика:
A⊕B
📊 Excel:
=И(A1<>B1)
или
=И(НЕ(A1=B1))
💻 LibreOffice:
=И(A1<>B1)
🖥 JS:
A ^ B
или
A !== B
A
B
A⊕B
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Ключевое свойство:
A⊕A = 0
(самоинверсия) и
A⊕0 = A
(нейтральный элемент). XOR — основа сложения в двоичной арифметике (глава 14).
03
Приоритет операций
Как и в арифметике — у каждой операции свой приоритет
Иерархия приоритетов (от высшего к низшему)
¬
(отрицание) — самый высокий
∧
(конъюнкция)
∨
(дизъюнкция)
⊕
(исключающее ИЛИ)
→
(импликация)
↔
(эквивалентность) — самый низкий
Как в арифметике: сначала умножение, потом сложение. Скобки меняют порядок!
⚡
Анимация вычисления: ¬A∧B∨C→D
Нажми «Запуск» — увидишь, как операции выполняются по порядку приоритета
¬
A
∧
B
∨
C
→
D
Лог вычисления появится здесь...
Другой пример: A→B→C
Импликация ассоциативна справа налево:
1) A
→
B → C = A
→
(B → C)
04
Логический калькулятор
Введи формулу — увидишь таблицу истинности
🧮
Парсер формул: A, B, C → таблица истинности
Формула (A, B, C — переменные)
Операции:
¬
НЕ ·
∧
И ·
∨
ИЛИ ·
→
следование ·
↔
эквивалентность ·
⊕
XOR. Скобки:
( )
05
Законы де Моргана
Как отрицание «проходит» через ∧ и ∨
Два закона де Моргана
Закон 1: ¬(A∧B) = ¬A∨¬B
Отрицание конъюнкции равно дизъюнкции отрицаний.
Закон 2: ¬(A∨B) = ¬A∧¬B
Отрицание дизъюнкции равно конъюнкции отрицаний.
🔍
Визуальное доказательство де Моргана
Нажми на ячейки A и B — увидишь равенство
Левая часть: ¬(A∧B)
A
B
A∧B
¬(A∧B)
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
=
Правая часть: ¬A∨¬B
A
¬A
¬B
¬A∨¬B
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
Последние столбцы совпадают → закон доказан!
Применение
Де Морган используется при: минимизации формул (глава 17/27), программировании ( De Morgan's laws в коде), криптографии, реляционных БД (SQL WHERE).
06
Аксиомы алгебры логики
Основные свойства, которые работают для всех логических операций
Коммутативность
Порядок не важен:
A∧B = B∧A
A∨B = B∨A
A⊕B = B⊕A
Ассоциативность
Группировка не важна:
(A∧B)∧C = A∧(B∧C)
(A∨B)∨C = A∨(B∨C)
Дистрибутивность
Распределение:
A∧(B∨C) = (A∧B)∨(A∧C)
A∨(B∧C) = (A∨B)∧(A∨C)
Идемпотентность
Повтор не меняет:
A∧A = A
A∨A = A
Поглощение
Сильный поглощает слабый:
A∧(A∨B) = A
A∨(A∧B) = A
Двойное отрицание
Два раза «не» = исходное:
¬¬A = A
Нейтральный элемент
A∧1 = A (конъюнкция)
A∨0 = A (дизъюнкция)
Поглощающий элемент
A∧0 = 0
A∨1 = 1
Законы противоречия и исключённого третьего
A∧¬A = 0 (противоречие)
A∨¬A = 1 (исключённое третье)
07
Тренажёр упрощения формул
Применяй аксиомы для упрощения логических выражений
⚡
Упрости формулу
08
Угадай операцию
Дана таблица истинности — определи, какая это операция
🎯
5 вопросов: угадай операцию по таблице
0/5
09
Мини-тест
5 случайных вопросов, по одному за раз
📝
Проверь себя
0/5