Законы алгебры логики и полные системы

Содержание и основные понятия

← К оглавлению
Alterna · Глава 29 · Страница 29.2
Законы алгебры логики и полные системы
Де Морган · Поглощение · Склеивание · NAND · NOR · Функциональная полнота
Зная законы, можно упрощать любые логические формулы. Зная полные системы — можно убедиться, что {NAND} один способен выразить ВСЁ. Это и есть основа цифровой электроники.
ФГОС
ФОП
ЕГЭ №2
ЕГЭ №15
углубл.
01
Законы алгебры логики
Нажми на закон, чтобы увидеть детали и пример применения.
Таблица законов (быстрая справка)
Закон
Для ∧
Для ∨
Коммутативность
A∧B = B∧A
A∨B = B∨A
Ассоциативность
(A∧B)∧C = A∧(B∧C)
(A∨B)∨C = A∨(B∨C)
Дистрибутивность
A∧(B∨C) = (A∧B)∨(A∧C)
A∨(B∧C) = (A∨B)∧(A∨C)
Идемпотентность
A∧A = A
A∨A = A
Поглощение
A∧(A∨B) = A
A∨(A∧B) = A
Склеивание
(A∧B)∨(A∧¬B) = A
Де Морган ¬∧
¬(A∧B) = ¬A∨¬B
Де Морган ¬∨
¬(A∨B) = ¬A∧¬B
Константы
A∧0=0, A∧1=A
A∨0=A, A∨1=1
Дополнение
A∧¬A = 0
A∨¬A = 1
Двойное отрицание
¬¬A = A
02
Интерактив: проверка закона через таблицу истинности
🔬
Верификатор законов
Выбери закон — увидишь таблицу истинности, подтверждающую тождество. Слева и справа должны совпадать во всех строках.
03
Полные системы (функциональная полнота)
Определение
Полная система
— набор логических операций, через которые можно выразить
любую
булеву функцию. Это означает, что из этих операций можно «собрать» ¬, ∧, ∨, →, ↔ и все 16 функций от 2 переменных.
NAND (штрих Шеффера)
A | B = ¬(A∧B)
Полная система!
¬A = A|A
A∧B = (A|B)|(A|B)
A∨B = (A|A)|(B|B)
NOR (стрелка Пирса)
A ↓ B = ¬(A∨B)
Полная система!
¬A = A↓A
A∨B = (A↓B)↓(A↓B)
A∧B = (A↓A)↓(B↓B)
{∧, ∨} — НЕ полная
нет ¬
Нельзя получить ¬A.
Все функции из ∧ и ∨
сохраняют 1 (при A=1, B=1
результат = 1).
🔍
Проверка полноты системы
Введи набор операций через запятую. Поддерживаются: ¬, ∧, ∨, →, ↔, ⊕, NAND, NOR.
🎯
Мини-тест: 5 вопросов
XP: 0 / 100
🧩
Законы и полные системы
5 вопросов · 20 XP за каждый правильный