Упрощатель формул: 9 законов алгебры логики

Содержание и основные понятия

← Вернуться к оглавлению
Alterna · глава 18 · страница 18.1
Упрощатель формул: 9 законов алгебры логики
Таблица законов + интерактивный упрощатель формул.
Алгебра логики
— это набор законов для упрощения логических выражений. Знание 9 ключевых законов экономит часы на ЕГЭ №2 и №15. Большинство задач сводятся к применению закона де Моргана или поглощения.
ФГОС
ФОП
ОГЭ №2
ЕГЭ №2,15
Связь с главой 17
Графы из главы 17 описывают
структуру связей
между объектами. Но что если связи — это не дороги между городами, а логические зависимости «если A то B»? Алгебра логики — это инструмент для работы с такими связями. Формула
F = A∧B
означает: выход F зависит от входов A и B через операцию И. Любая логическая схема (глава 18.3) — это конкретная реализация формулы. А законы алгебры логики позволяют упростить формулу так, чтобы схема стала проще и дешевле.
00
Модельные примеры: где это применяется
A
B
∧
F=A∧B
Логический вентиль
AND-вентиль: сигнал на выходе только если оба входа активны
Таблица истинности
1
0
0
1
A B → F
Таблица истинности
Все комбинации входов и соответствующий выход
¬A
¬B
∨
Закон де Моргана
¬(A∧B) = ¬A∨¬B — отрицание конъюнкции
A
B
A∧B
=A
=A∨B
Законы поглощения
A∧(A∨B)=A и A∨(A∧B)=A убирают лишнее
01
9 законов алгебры логики
№
Закон
Для ∧
Для ∨
1
Идемпотентность
A∧A = A
A∨A = A
2
Коммутативность
A∧B = B∧A
A∨B = B∨A
3
Ассоциативность
(A∧B)∧C = A∧(B∧C)
(A∨B)∨C = A∨(B∨C)
4
Дистрибутивность
A∧(B∨C) = (A∧B)∨(A∧C)
A∨(B∧C) = (A∨B)∧(A∨C)
5
Поглощение
A∧(A∨B) = A
A∨(A∧B) = A
6
Склеивание
(A∧B)∨(A∧¬B) = A
(A∨B)∧(A∨¬B) = A
7
Дополнение
A∧¬A = 0
A∨¬A = 1
8
Нулевой элемент
A∧0 = 0
A∨1 = 1
9
Де Морган
¬(A∨B) = ¬A∧¬B
¬(A∧B) = ¬A∨¬B
Закон склеивания
Особенно важен в ЕГЭ №2:
(A∧B)∨(A∧¬B) = A
. Это «склеивает» две похожие конъюнкции, отличающиеся только одной переменной. То же для ∨.
02
Примеры упрощения
Пример 1: (A∧B)∨(A∧¬B)
(A∧B)∨(A∧¬B) = A∧(B∨¬B) = A∧1 =
A
Пример 2: ¬(A∨B)∧(A∨C)
¬(A∨B) = ¬A∧¬B (де Морган)
(¬A∧¬B)∧(A∨C) = (¬A∧¬B∧A)∨(¬A∧¬B∧C) = 0∨(¬A∧¬B∧C) =
¬A∧¬B∧C
Пример 3: A∨(¬A∧B)
A∨(¬A∧B) = (A∨¬A)∧(A∨B) = 1∧(A∨B) =
A∨B
03
Логический калькулятор
Введи формулу — получишь таблицу истинности и пошаговое упрощение
🧮
Таблица истинности
Формула
📐
Шаги упрощения
Формула для упрощения
Операции:
¬
НЕ ·
∧
И ·
∨
ИЛИ ·
→
следование ·
↔
эквивалентность ·
⊕
XOR
04
Мини-тест
📝 Законы алгебры логики
🔥
0
Вопрос 1 из 5
0
XP
Ур:
Новичок
·
50
XP