Алгебра логики: углублённый курс

Содержание и основные понятия

← Вернуться к оглавлению
Alterna · глава 18 · страница 18.0
Алгебра логики: углублённый курс
От законов к схемам, от таблиц к СДНФ, от упрощения к ЕГЭ.
Глава 18
— это углублённый курс алгебры логики. Если в главе 15 вы изучали
основы
(что такое высказывание, как работают ∧, ∨, ¬), то здесь мы переходим к
инструментам
: как упрощать сложные формулы, как строить схемы по формулам, как читать таблицы истинности и превращать их в СДНФ.
ФГОС · 10 класс
ФОП · углублённый
ЕГЭ №2,15
Почему эта глава важна
В ЕГЭ №2 нужно
упрощать формулы
— применяя законы де Моргана, поглощения, склеивания. В ЕГЭ №15 нужно
строить схемы
и записывать формулы по ним. Обе задачи решаются систематически, если знаешь все 9 законов и умеешь строить СДНФ.
Связь с главой 17 (Графы)
Логическая схема — это
ориентированный граф
. Верх главы 17 показывал ДАГ: вершины + направленные рёбра. Здесь мы используем ту же структуру, но рёбра — это провода, а вершины — вентили (AND, OR, NOT). Алгоритм топологической сортировки из главы 17 помогает определить порядок вычисления в схеме. Алгебра логики — это
математика
для работы с теми самыми связями.
01
Что вы уже знаете (глава 15)
∧ ∨ ¬
Базовые операции И, ИЛИ, НЕ. Таблицы истинности.
→ ↔ ⊕
Импликация, эквивалентность, исключающее ИЛИ.
Де Морган
¬(A∧B) = ¬A∨¬B и ¬(A∨B) = ¬A∧¬B.
Если что-то из этого незнакомо — начните с
главы 15
, а потом возвращайтесь сюда.
02
Что new в этой главе
18.1 — Упрощатель формул
9 законов +
пошаговая анимация
применения каждого. Генератор задач: огромная формула → ответ за 30 секунд.
18.2 — СДНФ и карты Карно
По таблице истинности → формула. Визуализация: почему именно минтермы, а не что-то другое.
18.3 — Логические схемы
Симулятор: схема ↔ формула. SVG-вентили, трассировка сигнала.
18.4 — ЕГЭ №2
Банк 50 задач. Интерактивная таблица для поиска ответа.
18.5 — ЕГЭ №15
Интерактивный тренажёр: схема → формула → упрощение.
03
Ключевая идея: схема = граф = формула
Логическая схема — это
ориентированный ациклический граф (ДАГ)
. Входы — истоки графа, выход — сток графа. Каждый вентиль — вершина с входящими проводами (рёбрами).
A
B
AND
NOT
OR
F
Входы
Вентили
Выход
Схема: F = (A∧B)∨¬(B) — направленный граф слева направо
Почему это важно
Из главы 17 вы знаете: ДАГ можно обходить в топологическом порядке, считать число путей. Здесь те же идеи — но вместо подсчёта путей мы
вычисляем значение формулы
для каждого набора входов.
04
Навигация по главе
18.1
Упрощатель формул
9 законов, пошаговая анимация, генератор задач.
Мини-тест: 5 из 50.
18.2
СДНФ и карты Карно
Таблица → формула. Визуализация минтермов.
Мини-тест: 5 из 50.
18.3
Логические схемы
Симулятор схема ↔ формула. SVG-вентили.
Мини-тест: 5 из 50.
18.4
ЕГЭ №2 — банк 50 задач
Интерактивная таблица для поиска ответа. Фильтры ОГЭ/ЕГЭ.
18.5
ЕГЭ №15 — схемы
Тренажёр: схема → формула → упрощение.
Банк 50 задач.