5 операций и 9 законов алгебры логики

Содержание и основные понятия

← Вернуться к оглавлению
Alterna · глава 17 · страница 17.1
5 операций и 9 законов алгебры логики
Таблица законов + интерактивный упрощатель формул.
Алгебра логики
— это набор законов для упрощения логических выражений. Знание 9 ключевых законов экономит часы на ЕГЭ №2 и №15. Большинство задач сводятся к применению закона де Моргана или поглощения.
ФГОС
ФОП
ОГЭ №2,4
ЕГЭ №2,15
01
9 законов алгебры логики
№
Закон
Для ∧
Для ∨
1
Идемпотентность
A∧A = A
A∨A = A
2
Коммутативность
A∧B = B∧A
A∨B = B∨A
3
Ассоциативность
(A∧B)∧C = A∧(B∧C)
(A∨B)∨C = A∨(B∨C)
4
Дистрибутивность
A∧(B∨C) = (A∧B)∨(A∧C)
A∨(B∧C) = (A∨B)∧(A∨C)
5
Поглощение
A∧(A∨B) = A
A∨(A∧B) = A
6
Склеивание
(A∧B)∨(A∧¬B) = A
(A∨B)∧(A∨¬B) = A
7
Дополнение
A∧¬A = 0
A∨¬A = 1
8
Нулевой элемент
A∧0 = 0
A∨1 = 1
9
Де Морган
¬(A∨B) = ¬A∧¬B
¬(A∧B) = ¬A∨¬B
Закон склеивания
Особенно важен в ЕГЭ №2:
(A∧B)∨(A∧¬B) = A
. Это «склеивает» две похожие конъюнкции, отличающиеся только одной переменной. То же для ∨.
02
Примеры упрощения
Пример 1: (A∧B)∨(A∧¬B)
(A∧B)∨(A∧¬B) = A∧(B∨¬B) = A∧1 =
A
Пример 2: ¬(A∨B)∧(A∨C)
¬(A∨B) = ¬A∧¬B (де Морган)
(¬A∧¬B)∧(A∨C) = (¬A∧¬B∧A)∨(¬A∧¬B∧C) = 0∨(¬A∧¬B∧C) =
¬A∧¬B∧C
Пример 3: A∨(¬A∧B)
A∨(¬A∧B) = (A∨¬A)∧(A∨B) = 1∧(A∨B) =
A∨B
03
Упрощатель формул
Введи формулу — увидишь таблицу истинности и упрощённый вид
⚡
Упрощатель выражений
Формула
04
Мини-тест
📝
7 вопросов по законам