Перевод между системами счисления

Содержание и основные понятия

← Вернуться к оглавлению
Alterna · глава 14 · страница 14.2
Перевод между системами счисления
Три базовых алгоритма: из 10-чной, в 10-чную и между произвольными СС. С пошаговой визуализацией.
Главный навык
для ОГЭ №10 и ЕГЭ №14: уметь переводить число из одной СС в другую. Три базовых алгоритма покрывают все случаи.
ФГОС
ФОП
ОГЭ №10
ЕГЭ №14
01
Алгоритм 1: из 10-чной в q-ичную
«Делилка»: делим число на q, собираем остатки снизу вверх
Метод деления с остатком
Делим исходное число на q, запоминаем остаток (он станет младшей цифрой результата).
Берём частное и снова делим на q, запоминаем остаток.
Повторяем, пока частное не станет равно 0.
Читаем остатки
снизу вверх
— это и есть число в СС q.
Пример: 45₁₀ → ?₂
45 ÷ 2 = 22, остаток
1
(младший бит)
22 ÷ 2 = 11, остаток 0
11 ÷ 2 = 5, остаток 1
5 ÷ 2 = 2, остаток 1
2 ÷ 2 = 1, остаток 0
1 ÷ 2 = 0, остаток
1
(старший бит)
Ответ: читаем снизу вверх → 101101₂
🪜
Делилка: анимация столбиком
Введи число и основание — увидишь деление столбиком, как в школе
Число (10-чное)
Целевое основание
Готов к работе
02
Алгоритм 2: из q-ичной в 10-чную
Развёрнутая форма: каждый разряд умножаем на q в своей степени
Алгоритм
Нумеруем разряды справа налево, начиная с 0.
Каждую цифру умножаем на q в степени её разряда.
Складываем все произведения — получаем 10-чное число.
Пример: 3FA₁₆ → ?₁₀
3FA₁₆ = 3·16² + F·16¹ + A·16⁰
= 3·256 + 15·16 + 10·1
= 768 + 240 + 10 =
1018₁₀
🔁
Развёртка: q → 10
Число
Основание
Введи число и нажми «Развернуть»
03
Алгоритм 3: между произвольными СС
q₁ → 10 → q₂ — два перехода через десятичную
Универсальный метод
Чтобы перевести из СС
q₁
в СС
q₂
, выполняем два перехода:
Переводим число из q₁ в 10-чную (развёрнутая форма).
Переводим 10-чное число в q₂ (метод деления с остатком).
🌐
Универсальный конвертер q₁ → q₂
Число
Из СС
В СС
Введи число и нажми «Перевести»
Связь 2 ↔ 8 ↔ 16
Так как 8 = 2³ и 16 = 2⁴, перевод между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной СС делается
группировкой битов
:
• Двоичная → восьмеричная: группы по 3 бита справа.
• Двоичная → шестнадцатеричная: группы по 4 бита справа.
Это
быстрее
, чем универсальный метод.
Пример: 1A2F₁₆ → восьмеричная (быстрый путь)
Каждая hex-цифра → 4 бита:
1 = 0001, A = 1010, 2 = 0010, F = 1111
Итого: 0001 1010 0010 1111₂
Группируем по 3 бита справа: 000 110 100 010 111
= 0 6 4 2 7₈ =
6427₈
(ведущий 0 отбрасываем)
04
Дробная часть: дробные числа в СС
Дробная часть переводится умножением на основание
Из q-ичной в 10-чную (дробь)
Каждая цифра после точки умножается на q
−k
, где k — номер позиции после точки (1, 2, 3, …):
0.d
1
d
2
d
3
…
q
= d
1
·q
−1
+ d
2
·q
−2
+ d
3
·q
−3
+ …
Пример: 0.101₂ → ?₁₀
0.101₂ = 1·2
−1
+ 0·2
−2
+ 1·2
−3
= 1·0.5 + 0·0.25 + 1·0.125
= 0.5 + 0.125 =
0.625₁₀
Из 10-чной в q-ичную (дробь)
Умножаем дробную часть на q.
Целая часть результата — очередная цифра в q-ичной записи.
Берём новую дробную часть и повторяем, пока она не станет 0 (или не достигнем нужной точности).
Пример: 0.75₁₀ → ?₂
0.75 × 2 =
1
.5 → цифра 1, дробь 0.5
0.5 × 2 =
1
.0 → цифра 1, дробь 0.0
Ответ:
0.11₂
🔬
Конвертер дробных чисел
Введи дробное число (с точкой) и основание
Число (с точкой)
Из СС
Введи дробное число и нажми «Перевести»
05
Группировка бит: 2 ↔ 8 ↔ 16
Быстрый перевод без перевода через десятичную
Метод группировки
Поскольку 8 = 2³ и 16 = 2⁴, перевод между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной СС делается
группировкой битов
:
Двоичная → восьмеричная:
разбиваем биты на группы по 3 (справа налево), дополняем нулями слева, каждую группу заменяем на цифру 0–7.
Двоичная → шестнадцатеричная:
группы по 4 бита, каждую заменяем на 0–9, A–F.
Обратно:
каждую цифру заменяем на 3 (или 4) бита.
Пример: 11010110₂ → 8-чная и 16-чная
Группы по 3:
011
010
110
→ 3 2 6₈ =
326₈
Группы по 4:
1101
0110
→ D 6₁₆ =
D6₁₆
🧩
Тренажёр группировки
Введи двоичное число — увидишь группы по 3 и по 4
Двоичное число
06
Таблица степеней двойки
Справочная таблица для быстрого перевода 2 ↔ 8 ↔ 16
Степени двойки и их связь
Каждая степень двойки соответствует одному биту. Зная степени двойки наизусть, можно мгновенно переводить числа между 2-ной, 8-ной и 16-ной СС.
n
2ⁿ
2ⁿ₂
8-чная
16-чная
Совет
Для перевода
из 16-ной в двоичную
: каждая hex-цифра = 4 бита. Например,
F1₁₆
=
1111 0001₂
. Для перевода
из 8-ной
: каждая цифра = 3 бита.
75₈
=
111 101₂
.
07
Поле бит: переключай и считай
Переключай биты — мгновенно видишь значение в 10-чной, 8-чной и 16-чной СС
🎛️
16-битный ползунок
Нажимай на биты или используй пресеты
Десятичное:
Восьмеричное:
Шестнадцатеричное:
Единиц:
Двоичное:
08
Мини-тест
📝
5 случайных вопросов на перевод
1 / 5
0 ✓