Позиционные системы счисления

Содержание и основные понятия

← Вернуться к оглавлению
Alterna · глава 14 · страница 14.1
Позиционные системы счисления
Основание, алфавит, развёрнутая форма, веса разрядов — фундамент для ОГЭ №10 и ЕГЭ №14.
Система счисления
— способ записи чисел с помощью определённого набора цифр. В
позиционных
СС значение цифры зависит от её места (разряда): единица в разряде сотен «весит» в 100 раз больше, чем единица в разряде единиц.
ФГОС
ФОП
ОГЭ №10
ЕГЭ №14
01
Что такое система счисления?
Определение, алфавит, основание
ФГОС
ФОП
Определение
Система счисления (СС)
— способ записи чисел с помощью символов (цифр) по определённым правилам.
Алфавит СС
— упорядоченный набор всех цифр, которые можно использовать.
Основание СС (q)
— количество различных цифр в алфавите.
Позиционная СС
— значение цифры зависит от её места (разряда) в числе.
Аналогия
Представьте дом: каждая квартира имеет номер, но
значение
номера 5 на 1-м этаже и 5 на 9-м — совершенно разное (5-й подъезд vs 95-я квартира). Так и в позиционной СС: цифра 5 в числе 50 и 500 означает разный «вес» — 5·10¹=50 и 5·10²=500.
Таблица основных систем
Система
Основание
Цифры
Пример
Двоичная
2
0, 1
101₂
Троичная
3
0, 1, 2
212₃
Восьмеричная
8
0–7
753₈
Десятичная
10
0–9
2024
Шестнадцатеричная
16
0–9, A–F
3FA₁₆
02
Веса разрядов и развёрнутая форма
Каждая позиция имеет свой «вес» — степень основания
Вес разряда
В числе
aₙ₋₁ aₙ₋₂ … a₁ a₀
цифра aᵢ стоит в разряде с весом
qⁱ
:
A = aₙ₋₁·qⁿ⁻¹ + aₙ₋₂·qⁿ⁻² + … + a₁·q¹ + a₀·q⁰
где q — основание СС, aᵢ — цифра в i-м разряде (счёт справа с нуля).
Пример: 2024₁₀
2024₁₀ =
2
·10³ +
0
·10² +
2
·10¹ +
4
·10⁰
= 2·1000 + 0·100 + 2·10 + 4·1
= 2000 + 0 + 20 + 4
Пример: 3FA₁₆
3FA₁₆ =
3
·16² +
F
·16¹ +
A
·16⁰
= 3·256 + 15·16 + 10·1
= 768 + 240 + 10 =
1018₁₀
Минимальное основание
Если в записи числа присутствует цифра d, то основание СС должно быть
строго больше d
. Например, число 124 записано в СС с основанием не меньше 5 (т.к. цифра 4 — наибольшая).
03
Свойства позиционной записи
Признаки делимости, количество цифр, остатки — ключ для ЕГЭ №14
Признак делимости на основание СС
Число в системе счисления с основанием
q
:
Делится на q
⟺ последняя цифра равна 0
Делится на qᵏ
⟺ последние k цифр равны 0
Остаток от деления на q
= последняя цифра
Остаток от деления на (q−1)
= сумма цифр (mod q−1)
Делится на (q−1)
⟺ сумма цифр делится на (q−1)
Пример: 3FA₁₆
Последняя цифра A₁₆ = 10₁₀. Значит, 3FA₁₆ mod 16 = 10 (не делится на 16).
Сумма цифр: 3 + 15 + 10 = 28. 28 mod 15 = 13. Значит, 3FA₁₆ mod 15 = 13.
Последние 2 цифры: FA₁₆ = 250₁₀. 3FA₁₆ mod 256 = 250.
Пример: 10110₂ (двоичная)
Последняя цифра = 0 ⟹ число чётное (делится на 2).
Сумма цифр: 1+0+1+1+0 = 3. 3 mod 1 = 0 ⟹ делится на (2−1)=1 (всегда верно).
Последние 2 цифры: 10₂ = 2₁₀ ⟹ остаток от деления на 4 = 2.
Количество цифр в записи числа
Число N в СС с основанием q занимает
k
цифр, где:
k = ⌊log_q(N)⌋ + 1
Эквивалентно: q^(k−1) ≤ N < q^k.
Пример
Сколько цифр в записи числа 255 в шестнадцатеричной системе?
log₁₆(255) = ln(255)/ln(16) ≈ 5.54/2.77 ≈ 2.0. ⌊2.0⌋ + 1 =
3 цифры
(FF₁₆).
Для ЕГЭ №14
Задачи на свойства позиционной записи — частая тема ЕГЭ №14. Особенно: признак делимости на (q−1) через сумму цифр, количество цифр через логарифм, остатки от деления.
🔬
Анализатор свойств числа
Введи число и основание — получи все свойства
Число
Основание q
Введи число и основание.
04
Абакус: визуализация весов
Пощёлкай бусины — увидишь, как меняется число
🧮
Абакус: разряды и веса
Нажимай на бусины или введи число — увидишь разбиение по разрядам
Основание q
Число разрядов
Число
05
Калькулятор развёрнутой формы
Введи число и основание — получи разложение по разрядам
📐
Развёрнутая форма числа
Число
Основание
Введи число и нажми «Разложить»
06
Угадай систему счисления
10 заданий — определи минимальное основание по виду числа
🎯
Тренажёр «Угадай СС»
Определи минимальное основание, в котором допустима данная запись
101101
0/0
07
Мини-тест
📝
5 случайных вопросов
1 / 5
0 ✓