Системы счисления: позиционные, переводы, арифметика

Содержание и основные понятия

← Вернуться к оглавлению
Alterna · глава 14
Системы счисления: позиционные, переводы, арифметика
Фундамент для ОГЭ №10 и ЕГЭ №14 — с абакусом, делилкой и столбиком.
Системы счисления окружают нас: двоичная — внутри процессора, шестнадцатеричная — в адресах памяти и цветах веб-дизайнера, восьмеричная — в правах доступа UNIX. В этой главе разберёмся, как они устроены и как переводить между ними.
ФГОС · 8 класс
ФОП · базовый
ОГЭ №10
ЕГЭ №14
14
Страницы главы
5 страниц с теорией, интерактивами и банком заданий.
14.1
Позиционные системы счисления
Основание, алфавит, развёрнутая форма, веса разрядов.
Свойства позиционной записи
(признаки делимости, количество цифр). Абакус и тренажёр.
14.2
Перевод между СС
Делилка пошагово, универсальный конвертер q₁→q₂, быстрый перевод 2↔8↔16 группировкой битов.
14.3
Двоичная арифметика
Сложение, вычитание в столбик с подсветкой переноса. Умножение и деление. Связь с процессором.
14.4
Практикум ОГЭ/ЕГЭ
Банк из 20 заданий: 10 ОГЭ + 10 ЕГЭ с разборами. Фильтры, марафон, прогресс-индикатор.
14.5
Экзамен-полигон
Квест 800 XP + тест 8 минут + развёрнутая задача с эталоном. Дашборд результатов.
⛳
Маршрут по главе
Рекомендуемый порядок прохождения
14.1 Позиционные СС
— разберись, что такое основание, алфавит, развёрнутая форма. Покрути абакус.
14.2 Переводы
— освой три базовых алгоритма: делилка, развёртка, универсальный конвертер.
14.3 Арифметика
— порешай столбики. Это фундамент для главы 25 (числа в памяти).
14.4 Практикум
— тренируйся на реальных заданиях ОГЭ/ЕГЭ с разборами.
14.5 Экзамен-полигон
— финальная проверка с таймером и развёрнутой задачей.
🔗
Связи с другими главами
Системы счисления — это мост между математикой и компьютерной инженерией. Эта глава опирается на несколько предыдущих и подготавливает к следующим.
Глава 10 · Алфавит
В главе 10 мы ввели понятие
алфавита
и его мощности A. Оказалось, что мощность алфавита — это ни что иное как
основание системы счисления
. Формула N = Aⁱ (количество слов длины i) превращается в формулу
веса разряда
qⁱ. Без понимания мощности алфавита невозможно освоить позиционную запись.
Глава 13 · ASCII/Unicode
В главе 13 мы изучали кодировки: каждая буква — это число (ASCII 65='A', Unicode 1055='П'). Теперь мы понимаем,
почему
одни и те же байты читаются по-разному в разных кодировках: это разные правила интерпретации одних и тех же двоичных чисел. Кросс-кодировочный конвертер из 13.2 напрямую использует перевод между системами счисления.
Глава 12 · Информационный объём
В главе 12 мы считали объём в битах: 1 байт = 8 бит. Теперь понимаем, что 8 — это основание восьмеричной СС, и
1 байт = 2³ = 8 значений
. Это связывает двоичную и восьмеричную СС напрямую: каждая восьмеричная цифра — ровно 3 бита.
Как это связано с программированием
В главе 6 (переменные) мы узнали, что компьютер хранит числа в двоичном виде. Теперь мы понимаем
механизм
: переменная
int
— это 32 двоичных разряда (бит), а тип
byte
— это 8 разрядов. Шестнадцатеричная запись
0xFF
— это просто удобный способ записать
11111111₂ = 255₁₀
. В главе 25 (Числа в памяти) мы увидим, как вещественные числа кодируются по стандарту IEEE 754: знак + экспонента + мантисса — всё в двоичной СС.